Fonksiyonlar konusunda göreceğiniz alt başlıklar: fonksiyonun tanımı, fonksiyonlarda işlemler, fonksiyon çeşitleri; bire bir fonksiyon, örten fonksiyon, içine fonksiyon, birim fonksiyon, sabit fonksiyon, çift ve tek fonksiyon, eşit fonksiyon, ters fonksiyon, permütasyon fonksiyon, bileşke fonksiyon ve son olarak da fonksiyonun grafiğidir.
Fonksiyonlar konusu uzun bir konu gibi gözükse de mantığını anladıktan sonra hepsinin aslında birbirine benzeyen ve birbirinin devamı olan basit bir konu olduğunu göreceksiniz. Aşağıdaki ders ve notu ve konu anlatımında bilmeniz gereken bütün bilgiler bulunmaktadır. İyi bir çalışmadan sonra soru çözümüne geçtiğinizde soruları hızlı ve kolay bir şekilde çözeceğinizi sizde göreceksiniz.
FONKSİYON:
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
“x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
| – | Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. |
| – | Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. |
| – | s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, i) A dan B ye nmtane fonksiyon tanımlanabilir. ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir. |
| – | Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. |
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹ Æ olmak üzere,
fonksiyonları tanımlansın.
- (f + g) : A Ç B ® R, (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f – g) : A Ç B ® R, (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- (f × g) : A Ç B ® R, (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- “x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere;
- c Î R olmak üzere,× f) : A ® R, (c × f)(x) = c × f(x) tir.
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
1. Bire Bir Fonksiyon
BBuna göre, bire bir fonksiyonda,
“x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
“x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
s(A) = m ve s(B) = n (n ³m) olmak üzere,A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,  |
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
| – | f : A ® Bf(A) = B ise, f örtendir. |
| – | s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,m! = m × (m – 1) × (m – 2) × … × 3 × 2 × 1 dir. |
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
| – | İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. |
| – | s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir. |
4. Birim (Etkisiz)
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
| – | Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. |
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona
sabit fonksiyon denir.
| – | “x Î A ve c Î B için, f : A ®B f(x) = cise, f sabit fonksiyondur. |
| – | s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. |
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
| – | Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. |
| – | Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. |
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
 | (x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.Ayrıca, (f–1)–1 = f dir. |
| (f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir. |
| f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir. |
| f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir. |
| f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.f–1(b) = a ise, f(a) = b dir. |
 |
| y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.  | |
 olmak üzere,  | |
olmak üzere,  |
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
| – | (gof)(x) = g[f(x)] tir. |
| Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.Bu durumda, fog ¹gof dir.Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. |
| Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur. | |
| I birim fonksiyon olmak üzere,foI = Iof = f vef–1of = fof–1 = I dır. | |
| f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,(fog)–1 = g–1of–1ve(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir. | |
| (fog)(x) = h(x)ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir. |
 • f–1(x) = f(x) tir.• (fof) (x) = x• (fofof) (x) = f(x)• (fofofof) (x) = x |
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
 | (a, b) Îfolduğundanf(a) = b dir.Ayrıca, f–1(b) = a dır. |
 Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır. |