Kategoriler
Matematik

İntegral Ders Notu ve Konu Anlatımı

Matematik dersinin İntegral konusunda; İntegral ile alan arasındaki ilişki, İntegral ile hacim arasındaki ilişki, belirli İntegral, belirli İntegral’in özellikleri, İntegral – Türev ilişkisi, diferansiyel kavramı, belirsiz İntegral, İntegral alma kuralları, İntegral alma yöntemleri konularını göreceğiz. İntegral aslında türevin tam tersidir. Türev konusunu anlayarak ve öğrendikten sonra İntegral konusuna çalışmaya başladığınız da pek zorlanmayacaksınız.

Sponsorlu Bağlantılar

Aşağıda İntegral konusuna ait ders notu ve konu anlatımı bulunuyor. İntegral konusuna ait bilmeniz gereken bütün bilgiler aşağıda bulunmaktadır. İyi çalışmalar dileriz.

İntegral

A. İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Aşağıdaki şekilde y = f(x) eğrisi y = g(x) eğrisi x = a ve x = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, yukarıdaki eğrinin denkleminden aşağıdaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Bu sayfadan sonraki sayfada verilen şekilde x = f(y) eğrisi x = g(y) eğrisi y = a ve y = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

Sponsorlu Bağlantılar

İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kural

1. Hangi konumda olursa olsun, alan daima pozitif bir reel sayı ile ifade edilir.

2. Belirli integralin değeri bir reel sayıdır.

3. İntegral ile alan ilişkilendirilirken,

a. Alan x ekseninin üst kısmındaysa, alanı ifade eden sayı integrali de ifade eder.

b. Alan x ekseninin alt kısmındaysa, alanı ifade eden sayının toplama işlemine göre tersi integrali ifade eder.

Kural

 y = f(x) parabolünün tepe noktasının apsisi r ordinatı
k; x = f(y) parabolünün tepe noktasının apsisi n ordinatı m dir. intergral konu anlatımı Yukarıda solda verilen parabolde taralı alan,

Yukarıda sağda verilen parabolde taralı alan,

 Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Taralı alan, İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Bu kurallar bütün paraboller için geçerlidir.

Kural

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. intergral konu anlatımı

B. İNTEGRAL İLE HACİM ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kural

intergral konu anlatımıy = f(x) eğrisi, x = a, x = b doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

Kural

intergral konu anlatımıx = g(y) eğrisi, y = c, y = d ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

Kural

Sponsorlu Bağlantılar
intergral konu anlatımıy = g(x) eğrisi, x = a, x = b ve y = f(x) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

Kural

intergral konu anlatımıx = f(y) eğrisi, y = c, y = d ve x = g(y) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

A. BELİRLİ İNTEGRAL

intergral konu anlatımı olmak üzere, ifadesine f(x) fonksiyonunun

a dan b ye belirli integrali denir.

Belirli integralin eşiti belirli integral gösterimlerinden biriyle yapılır.

belirli integral

Uyarı

Daima sadeleşeceği için, integral sabiti olan c belirli integralde yazılmaz.

B. BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

Özellik

belirli integral

Kural

Mutlak değer, işaret ve tam değer fonksiyonlarının integralleri, fonksiyonun işaret değiştirdiği noktalar göz önüne alınarak sonuçlandırılır.

Kural

İki ya da daha fazla fonksiyonun toplamının ya da farkının belirli integrali, bu fonksiyonların ayrı ayrı belirli integrallerinin toplamına ya da farkına eşittir. belirli integral

Kural

Sponsorlu Bağlantılar
belirli integral

C. İNTEGRAL – TÜREV İLİŞKİSİ

Kural

integral - türev ilişkisi f(x) in integralinin türevi f(x) e eşittir.

Kural

integral - türev ilişkisi

Kural

integral - türev ilişkisi

A. DİFERANSİYEL KAVRAMI

x in sonsuz küçük değişimi dx şeklinde gösterilir. Buna x değişkeninin diferansiyeli denir.

Fonksiyondaki değişim dy ile gösterilir.

DİFERANSİYEL KAVRAMI

dy = f ‘(x)dx ifadesine y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir.

B. BELİRSİZ İNTEGRAL

Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonuna f(x) in belirsiz integrali denir ve

belirsiz integral

şeklinde gösterilir.

∫ sembolüne integral işareti, f(x) fonksiyonundan F(x) + c fonksiyonunun bulunmasını sağlayan işleme integral alma işlemi,

F(x) + c fonksiyonuna da f(x) in ilkel fonksiyonu denir.

Uyarı

f(x) in integralini bulmak, türevi f(x) e eşit olan fonksiyonu bulmaktır.

C. İNTEGRAL ALMA KURALLARI

Kural

n ¹ 0 olmak üzere, integral alma kuralları

Kural

integral alma kuralları

Kural

integral alma kuralları

Kural

integral alma kuralları

Kural

integral alma kuralları

Kural

integral alma kuralları

Kural

integral alma kuralları

Kural

integral alma kuralları

D. İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

1. Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınan fonksiyon f(u)du gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.

Kural

n ¹ –1 olmak üzere,

integral alma yöntemleri

integral alma yöntemleri

Kural

integral alma yöntemleri

Kural

integral alma yöntemleri den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a × sint değişken değiştirmesi yapılır.

Kural

Sponsorlu Bağlantılar
integral alma yöntemleri den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, integral alma yöntemleri değişken değiştirmesi yapılır.

Kural

integral alma yöntemleri den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a ×tantdeğişken değiştirmesi yapılır.

Kural

integral alma yöntemleri köklü ifadelerini içeren fonksiyonların integrallerini hesaplamak için E.k.o.k.(m, n) = polmak üzere,ax + b = tpdeğişken değiştirmesi yapılır.

2. Kısmî İntegrasyon Yöntemi

u = f(x)

v = g(x)

olsun. u × v nin diferansiyeli,

d(u × v) = du × v + dv × u

olur. Buradan,

× dv = d(u × v) – v × du

olur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

integral alma yöntemleri

Uyarı

Kısmî integralde u nun ve dv nin doğru seçilmesi çok önemlidir. Seçim doğru yapılmazsa, çözüme yaklaşmak yerine, çözümden uzaklaşılır. Türev ve integral alma bilgileri ışığında, seçim sezgisel olarak yapılabilir. Ancak, kolaylık sağlayacağı için aşağıdaki kuralı göz önüne alabilirsiniz.

Kural

integral alma yöntemleri

integrallerinde;
integral alma yöntemleri
integral alma yöntemleri

Sonuç

n bir doğal sayı olmak üzere, integral alma yöntemleri f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere, integral alma yöntemleri

3. Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

Sponsorlu Bağlantılar

P(x) ve Q(x) ortak çarpanı olmayan iki polinom olsun.

Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi integrali, vereceğimiz iki yöntemden biriyle sonuçlandırılır.

a. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise P(x), Q(x) e bölünür.

b. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçükse ifade basit kesirlere ayrılır.

4. Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak İntegral Alma Yöntemi

Kural

sin x ve cos x in çift kuvvetlerinin çarpımı biçimindeki integrallerde şu iki özdeşlik kullanılır:

Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

Kural

Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

biçimindeki integralleri aşağıdaki özdeşlikler yardımıyla sonuçlandırırız.

Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

Sponsorlu Bağlantılar

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Ne Nedir Vikipedi