İşlem konusunu öğrenirken; işlem nedir, işlemin özellikleri, tablo ile tanımlanmış işlemler ve matematik sistemler gibi içerikler göreceğiz. İşlem konusu hızlı bir şekilde öğrenilip hemen soru çözümüne başlayacağınız Matematik konularından birisidir.
İşlemin özellikleri olan; kapalılık, değişme, birleşme, birim eleman, ters eleman, dağılma ve yutan eleman özellikleri bölümüne dikkat etmeniz gerekmektedir. Bu özellikleri iyi bir şekilde bildiğiniz takdirde soru çözümlerinde zorlanacağınızı düşünmüyoruz.
A. İŞLEM:
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.
1. Kapalılık Özeliği
“ (Her) a, b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özeliği
“ (Her) a, b Î A için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği vardır.
3. Birleşme Özeliği
“ (Her) a, b, c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği vardır.
4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
“ (Her) x Î A için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.
e Î A ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.
5. Ters Eleman Özeliği
işleminin etkisiz elemanı e olsun.
a Î A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın elemanı ise, p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
| • Birim elemanın tersi kendisine eşittir. • Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir. |
6. Dağılma Özeliği
“ a, b, c Î A için,
a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.
(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.
| « işleminin p işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin pişlemi üzerine dağılma özelliği vardır. |
7. Yutan Eleman Özeliği
“ x Î A için, x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.
y Î A ise, p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.
| Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir. |
C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
| – | b c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b |
| – | Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi işlemine göre kapalıdır. |
| – | Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, işleminin değişme özeliği vardır. |
| – | Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlanan işleminin etkisiz elemanı d dir. |
| – | Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır. |
|
D. MATEMATİK SİSTEMLER
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A, «) ikilisine matematik sistem denir.
Grup
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.
- A, « işlemine göre kapalıdır.
- A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.
- A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
- A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.
| A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur. |
Halka
- (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
- A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
- « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
| – | « işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır. |
| – | « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir |
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır.